积分法求圆面积

众所周知,圆的解析式(以原点为圆心, rr 为半径)为 x2+y2=r2,(x[r,r])x^2+y^2=r^2, (x\in [-r, r])

经过数学推导可得:圆在 xx 轴上方的部分是 y=r2x2,(x[r,r])y=\sqrt{r^2-x^2}, (x\in [-r, r])

根据积分方程可得:此部分的面积为 S=rrr2x2dx=12xr2x2+r22arcsinxrrr=(12rr2r2+r22arcsinrr)(12(r)r2(r)2+r22arcsinrr)S_{上半部分}=\int_{-r}^{r}\sqrt{r^2-x^2}dx=\frac{1}{2}x\sqrt{r^2-x^2}+\frac{r^2}{2}\arcsin \frac{x}{r}|_{-r}^{r}=(\frac{1}{2}r\sqrt{r^2-r^2}+\frac{r^2}{2}\arcsin \frac{r}{r})-(\frac{1}{2}(-r)\sqrt{r^2-(-r)^2}+\frac{r^2}{2}\arcsin \frac{-r}{r})

我们知道:arcsin1=π2\arcsin 1=\frac{\pi}{2}arcsin1=π2\arcsin -1=-\frac{\pi}{2}

所以 S=r22×π2r22×(π2)=πr22S_{上半部分}=\frac{r^2}{2}\times\frac{\pi}{2}-\frac{r^2}{2}\times(-\frac{\pi}{2})=\frac{\pi r^2}{2}

又因为 S=S+S=2SS_{整圆}=S_{下半部分}+S_{上半部分}=2S_{上半部分}

所以 S=πr2S_{整圆}=\pi r^2

证毕。